Ya que contamos con un modelo microscópico, el modelo de Ising, que especifica cuáles son las configuraciones microscópicas, o microestados, del sistema, y su energía, ¡podemos hacer física estadística!
Por el momento, y en la mayor parte del curso, ocuparemos el ensamble canónico. Recordemos que esto modela un sistema en contacto con un baño térmico (o reservorio) infinito, a una temperatura fija $T$.
[Estos conceptos no son nada sencillos, pero supondremos que ya se han tratado en el curso de Física Estadística.]
$\newcommand{\ss}{\pmb{\sigma}}$
Lo que debemos extraer de esto es que un sistema en equilibrio, a temperatura $T$, tiene cierta probabilidad de ocupar cada microestado $\ss$, dada por
$$p_T^{\mathrm{(eq)}}(\ss) \propto e^{-\beta E(\ss)},$$donde hemos introducido la temperatura inversa $\beta := 1/(k_B T)$, con $k_B$ la constante de Boltzmann. La cantidad $\beta$ resulta ser más natural que pensar en términos de $T$; tomaremos unidades en las cuales $k_B = 1$.
Para la constante de proporcionalidad, introducimos la notación $Z(\beta)$, que depende de la temperatura $T$, o de $\beta$, de tal forma que las probabilidades están dadas por
$$p_T^{\mathrm{(eq)}}(\ss) = \frac{1}{Z(\beta)} e^{-\beta E(\ss)}.$$Esta distribución de probabilidad se llama la distribución canónica a temperatura $T$, o la distribución de Boltzmann(-Gibbs).
[1] Escribe una expresión para $Z(\beta)$, que se llama la función de partición a temperatura $T$. Recuerda cuál es la relación entre $Z$ y la energía libre macroscópica, $F$.
Las cantidades de interés son cantidades macroscópicas, dadas por promedios sobre la distribución de Boltzmann, que denotaremos con $\langle \cdot \rangle$. En general, estas propiedades se pueden expresar en términos de la función de partición, $Z$, por lo cual $Z$ asume un papel principal en la física estadística de equilibrio.
[2] Escribe una expresión para el promedio $\langle E \rangle_\beta$ de la energía a temperatura $T$. Demuestra que se puede expresar en términos de una derivada de $Z(\beta)$.
En principio, podemos calcular $Z$, y los promedios, de forma exacta a partir de su definición, como sigue.
[3] (i) Escribe código que genera todos los microestados $\ss$ del modelo de Ising cuadrado de tamaño $n \times m$, uno tras otro. [Pista: un arreglo 2D en Julia se puede manipular como si fuera de 1D; piensa en binario.]
(ii) Utiliza tu código para ir calculando $Z(\beta)$ y $\langle E \rangle$ para distintas temperaturas para sistemas muy pequeños. Utiliza condiciones periódicas de frontera cuando calculas $E(\ss)$. [Empieza con el sistema más pequeño y aumenta el tamaño de uno en uno...]
(iii) ¿Hasta qué tamaño de sistema puedes llevar a cabo estos cálculos en un tiempo razonable?
(iv) Para el sistema más grande que puedas, dibuja estas cantidades en función de $T$. ¿Qué observas?
(v) ¿Qué pasa con $\langle M \rangle$? ¿Por qué? ¿Qué podríamos hacer al respecto?
[4] Hay dos valores especiales de la temperatura.
(i) ¿Cuáles son?
(ii) Para estas temperaturas especiales, calcula analíticamente $Z$ $\langle E \rangle$. ¿Qué debería pasar entre estas dos temperaturas?
En principio, si calculamos $Z$ como función de $\beta$, podemos extraer las propiedades termodinámicas macroscópicas. Pero acabamos de ver que ¡no podemos calcular $Z$ para sistemas de tamaño interesante!
¿Cuál es la solución? Debemos encontrar una manera de calcular las cantidades de interés, como $\langle E \rangle$, sin tener que pasar por la vía de calcular $Z$.
Dado que estas cantidades tienen que ver con promedios, surge la idea de calcularlas al promediar sobre datos que generamos. ¿Cuáles datos? La idea es que generemos una secuencia en el tiempo de configuraciones $\ss^{(1)}$, $\ss^{(2)}$, etc., y que calculemos $\langle E \rangle$ como el promedio aritmético --en el sentido de la estadística-- de los datos $E(\ss^{(1)})$, $E(\ss^{(2)})$, etc. Por supuesto, esto nos dará sólo una aproximación al valor exacto. Si la generación de la secuencia ocupa un proceso azaraso, entonces tendremos un método tipo Monte Carlo.
Esto lo empezamos a hacer en el notebook anterior (sin darnos cuenta), pero sin contar aún con la temperatura. Ahora hemos introducido el concepto de temperatura, a través de la distribución de Boltzmann.
[5] Integra lo que hemos visto hasta ahora en el curso para ¡dar una propuesta para una solución al problema!